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Presentación

Se denominan ordenaciones estocásticas a las relaciones de algún tipo de orden entre distribuciones de probabilidad. Así definidas, rápidamente observamos que las ordenaciones estocásticas están presentes en casi todos los aspectos de la teoría de la probabilidad y de la inferencia estadística; teniendo como objetivo principal la comparación de distintos fenómenos aleatorios en función de alguna propiedad. El camino más simple para comparar dos distribuciones de probabilidad, con respecto a cierta característica de interés, consiste en comparar alguno de los índices o medidas asociadas a dicha característica. Sin embargo, este camino tiene tres inconvenientes. En primer lugar, es bien sabido que un simple índice no puede compendiar toda la información acerca de la característica objeto del estudio. Por ejemplo, la media no siempre representa bien a la distribución de probabilidad. En segundo lugar, el índice utilizado puede formar parte de un conjunto amplio de medidas asociadas a la característica y el uso de índices diferentes puede a veces conducir a conclusiones contradictorias. Por ejemplo, si la característica es la variabilidad, no todos los índices de dispersión darían lugar a la misma ordenación. Finalmente, puede ocurrir que la medida que vayamos a utilizar no exista para la distribución de probabilidad comparada. Todo ello nos conduce a utilizar un camino más general: las ordenaciones estocásticas. Un orden estocástico es una relación de orden parcial entre dos variables aleatorias, en una o más dimensiones, donde dicha relación dependerá de lo que pretendamos comparar. Así por ejemplo podríamos ordenar las variables en función de los valores que toman, grandes o pequeños -ordenamos en magnitud, como generalización de la clásica comparación de las medias-, en función de la dispersión -ordenamos en variabilidad, como generalización de la clásica comparación de las varianzas- que muestran los valores o en cualquier otro aspecto de interés como ordenar en forma, desigualdad, fiabilidad, etc. Por tanto, se define un orden parcial dentro de la familia de distribuciones cuya característica se desee comparar, de forma que dicho orden sea consistente con la característica en estudio, es decir, buscando que la prelación establecida sea coherente con una serie de principios inherentes a dicha característica y que, en cierto modo, permiten acotarla conceptualmente.

Históricamente, casi sin miedo a equivocarnos, la teoría de las ordenaciones estocásticas comienza a adquirir peso dentro de la teoría de la probabilidad con el clásico libro de Hardy, Littlewood y Pólya sobre desigualdades, editado por primera vez en 1934 y reeditado en 1952. En las últimas décadas, el número de ordenaciones estocásticas ha crecido enormemente, siendo de aplicación en áreas tan diversas como la estadística aplicada, la biología, la hidrología, y, especialmente, en ingeniería y la fiabilidad de sistemas, en finanzas y actuariales en la administración del riesgo y en economía en el estudio de la desigualdad.

Como consecuencia, encontramos una vasta literatura dedicada exhaustivamente a este tópico, debiendo forzosamente destacar las monografías de Szekli (1995), Muller and Stoyan (2002) y Shaked and Shanthikumar (1994, 2007).

Bibliografía

1. Hardy G. H., Littlewood, J.E. and Pólya, g. (1952). Inequalities. Cambridge University Press.
2. Müller, A. and Stoyan, D. (2002). Comparison methods for stochastic models and risks. Wiley.
3. Shaked, M. and Shanthikumar, J. G. (2007). Sthocastic Orders. Springer Series in Statistics.
4. Shaked, M. and Shanthikumar, J.G. (1994). Stochastic Orders and Their Applications. Academic Press, San Diego.
5. Szekli, R. (1995). Stochastic ordering and dependence in applied probability. Lecture Notes in Statistics, 97. Springer-Verlag.

Objetivos del grupo

Este grupo se crea con la intención de reunir bajo un mismo paraguas a todos los investigadores cuyas líneas de trabajo han estado, están o pretenden estar relacionadas en mayor o menor medida con las ordenaciones estocásticas; tanto a nivel teórico como aplicado.

El objetivo principal del grupo es concretar una vía de difusión de nuestra investigación a nivel nacional y, como no, a nivel internacional. Dentro de los problemas que abordamos podemos identificar, sin ser exhaustivos, los siguientes aspectos generales:

1. Definición de nuevas ordenaciones estocásticas tanto en el campo univariante como multivariante.
2. Desarrollo de métodos inferenciales que permitan poner en valor, desde un punto de vista empírico, los modelos teóricos de ordenaciones.
3. Utilización de las ordenaciones estocásticas a cualquier campo de las ciencias aplicadas.

Por ejemplo, concentraremos en este grupo investigadores interesados en comparar la fiabilidad de dos sistemas de ingeniería, la desigualdad de dos distribuciones de renta, el nivel de riesgo de dos carteras de inversión o de dos productos actuariales, la eficiencia de dos estimadores, la variabilidad de dos distribuciones, etc.

 
2017  OEA - ORDENACIONES ESTOCÁSTICAS Y SUS APLICACIONES  - Adapted by mariajose.ginzo@usc.es.